Question

12．已知A（-3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$，试求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 分别设出B、C、P的坐标，得到有关向量的坐标，由$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$，联立求得动点P的轨迹方程．

解答 解：设P（x，y），B（0，y'），C（x'，0），则$\overrightarrow{BC}=（x'，-y'）、\overrightarrow{BP}=（x，y-y'）$，…（4分）
由$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$，得$（x'，-y'）=\frac{1}{2}（x，y-y'）$，…（8分）
即$x'=\frac{x}{2}，y'=-y$，∴B（0，-y），…（11分）
又A（-3，0），∴$\overrightarrow{AB}=（3，-y），\overrightarrow{BP}=（x，2y）$，…（13分）
由$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BP}$，得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BP}=0$，…（16分）
∴3x-2y²=0，得${y^2}=\frac{3}{2}x$，即为动点P的轨迹方程．…（18分）

点评 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，属中高档题．