Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），过点F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（-a，0）斜率为k的直线交椭圆于点N，直线NO（O为坐标原点）交椭圆于另一点P，若k∈[$\frac{1}{2}$，1]，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用椭圆性质得c=$\sqrt{3}$，4a=8，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线AB的方程为x+2=my，（m=$\frac{1}{k}$），代入椭圆方程得（m²+4）y²-4my＞0，由此利用韦达定理、椭圆对称性求出△PMN的面积，再由函数的单调性能求出△PMN的面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
过点F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF₂的周长为8，
∴c=$\sqrt{3}$，4a=8，
∴a=2，b=$\sqrt{4-3}$=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由（1）得a=2，设直线AB的方程为x+2=my，（m=$\frac{1}{k}$），
代入椭圆方程得（m²+4）y²-4my＞0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{{m}^{2}+4}$，
又M（-2，0），∴N（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），由对称性知P（-$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，-$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），
∴△PMN的面积S=$\frac{8m}{{m}^{2}+4}$=$\frac{8}{m+\frac{4}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{4}{m}$，则f（m）在m∈[1，2]上单调递减，
∴当m=2，即k=$\frac{1}{2}$时，△PMN的面积取最大值2．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、椭圆与直线的位置关系的合理运用．