Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心为坐标原点O，左焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线于点P，且4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OF}$²，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过以OF为直径的圆交双曲线于点P得向量的垂直，向量的数量积得到∠FOP=60°，设双曲线另一个焦点为F'，则在△POF'中，利用余弦定理以及双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵以OF为直径的圆交双曲线于点P，
∴$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{PF}$，
∴4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=4|$\overrightarrow{OP}$||$\overrightarrow{OF}$|•$\frac{|\overrightarrow{OP}|}{|\overrightarrow{OF}|}$=4|$\overrightarrow{OP}$|²=$\overrightarrow{OF}$²=c²，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$c，∠FOP=60°，
设双曲线另一个焦点为F'，则在△POF'中，
由余弦定理可得|PF′|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$c，
又|PF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由双曲线定义得$\frac{\sqrt{7}}{2}$c-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=2a，
所以离心率e=$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，基本知识的考查．