Question

14．在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=3，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值为$\frac{61}{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出各角的余弦值，代入向量的数量积公式计算．

解答 解：在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=3，则cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{43}{48}$，cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{29}{36}$，cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=-$\frac{11}{24}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4×6×$\frac{43}{48}$+6×3×$\frac{29}{36}$-4×3×$\frac{11}{24}$=$\frac{61}{2}$．
故答案为：$\frac{61}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理，属于基础题．