Question

4．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x+1的顶点A在x轴上，与y轴交于B，延长AB至C，使BC=2AB，将抛物线向左平移n个单位，使抛物线与线段AC总有两个交点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 求出C点坐标及函数值与C点纵坐标相等时对应的x₁，则n的最大值为x₁与C点横坐标的差，当n取得最小值时，抛物线与线段AB相切．

解答 解：当y=0时，$\frac{1}{4}$x²-x+1=0，解得x=2；当x=0时，y=1，∴A（2，0），B（0，1）．
设C（x，y），则$\overrightarrow{CB}$=（-x，1-y），$\overrightarrow{BA}$=（2，-1，），∵BC=2AB，∴$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BA}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x=4}\\{1-y=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=3}\end{array}\right.$．∴C（-4，3）．
令y=3得$\frac{1}{4}$x²-x+1=3，解得x=2-2$\sqrt{3}$或x=2+2$\sqrt{3}$（舍）．
∴n≤2-2$\sqrt{3}$-（-4）=6-2$\sqrt{3}$．
设y=y=$\frac{1}{4}$x²-x+1向右平移a个单位后与直线AB相切，切点为（x₀，y₀），
则平移后的函数为y=$\frac{1}{4}$（x-a）²-（x-a）+1，∴y′=$\frac{1}{2}$x$-\frac{a}{2}$-1．直线AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{0}-\frac{a}{2}-1=-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}{x}_{0}+1={y}_{0}}\\{\frac{1}{4}（{x}_{0}-a）^{2}-（{x}_{0}-a）+1={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴n的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，6-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了函数图象的平移变换，导数的几何意义，属于中档题．