Question

16．已知等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根．
（1）求证：$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₂=3，a₅=9，再由等差数列的通项公式和求和公式，可得S_n=n²，即有$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，由裂项相消求和，即可得证；
（2）求得数列$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：由a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，且a₂＜a₅，
可得a₂=3，a₅=9，d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=2，
则a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2}$（a₁+a_n）n=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=n²，
即有$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，
则$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$＜1；
（2）数列$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
前n项和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{8}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{16}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
化简可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和、错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．