Question

9．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点与抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点相同，点P（1，$\sqrt{2}$）是椭圆C上一点，斜率为$\sqrt{2}$的直线l交椭圆于M，N两点，且P，M，N三点不重合，求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）△PMN的最大面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+2}\end{array}\right.$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由已知得|MN|=$\sqrt{3}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$，P到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，由此能求出当m=±2时，△PMN的面积最大值为$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点为（0，$\sqrt{2}$），
∴设椭圆C的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
∵点P（1，$\sqrt{2}$）是椭圆C是一点，一个焦点与抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
（2）设直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x+m，
与椭圆方程联立，得4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，
由△=-8m²+64＞0，得$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
∴|MN|=$\sqrt{3}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$，
∵P到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
∴△PMN的面积S=$\frac{\sqrt{2}}{4}•\sqrt{（8-{m}^{2}）{m}^{2}}$≤$\sqrt{2}$，
当且仅当8-m²=m²，即m=±2时取等号，
∴当m=±2时，△PMN的面积最大，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．