Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$ax²+bx，其导函数为f′（x），在区间[-1，1]内任取两个实数a，b，求方程f′（x）=0有实根的概率．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用方程f′（x）=0有实根，求出a，b满足的条件，作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx，
∴f′（x）=x²+ax+b，
若f′（x）=0有实根，
则判别式△=a²-4b≥0，
即b≤$\frac{1}{4}$a²，
∵-1≤a≤1，-1≤b≤1，
∴不等式组对应的平面区域如图：
则方程f′（x）=0有实根对应区域的面积为S=∫${\;}_{-1}^{1}$[$\frac{1}{4}$a²-（-1）]da=（$\frac{1}{12}$a³+a）|${\;}_{-1}^{1}$=$\frac{13}{6}$，
则正方形ABCD的面积为2×2=4，
则方程f′（x）=0有实根的概率P=$\frac{\frac{13}{6}}{4}$=$\frac{13}{24}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率公式的概率的计算，根据函数的导数公式求出方程f′（x）=0有实根的等价条件是解决本题的关键．