已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.设点O为坐标原点.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ .曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程,(2)设直线1与曲线C相交于A.B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，设点O为坐标原点，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （参数t∈R），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线1与曲线C相交于A，B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．

分析（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （参数t∈R），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与抛物线方程联立化为x²-4x-4=0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1即可得出．

解答解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （参数t∈R），消去参数t可得：y=x+1．
曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，化为直角坐标方程：x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x²-4x-4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=2×（-4）+4+1=-3．

点评本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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