Question

14．求函数f（x）=-2cosx-x在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 利用函数单调性与导数关系，求得y′，再通过y′的正负得出函数的单调区间，在端点值与极值中取最大值为所求的最大值．

解答 解：y′=2sinx-1，
令y′＞0，解得：x＞$\frac{π}{6}$，令y′＜0，解得：x＜$\frac{π}{6}$，
∴函数在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$）递减，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]递增，
当x=$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值，y=f（$\frac{π}{6}$）=-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$=-$\sqrt{3}$-$\frac{π}{6}$，
x=-$\frac{π}{2}$时，y=f（-$\frac{π}{2}$）=-2×0+$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
x=$\frac{π}{2}$时，y=f（$\frac{π}{2}$）=-2×0-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$，
∴函数的最大值是$\frac{π}{2}$，最小值是-$\sqrt{3}$-$\frac{π}{6}$．

点评 本题是一道利用函数单调性与导数关系，求函数最值的题目．难度不大．