Question

5．过抛物线y²=8x的焦点F的直线交抛物线A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=5，则|AB|=9．

Answer 1

分析 法1：容易求出抛物线的焦点F的坐标为（2，0），而由题意可看出直线存在斜率且不为0，可设直线的斜率为k，写出方程为y=k（x-2），带入抛物线方程整理便可得到k²x²-（4k²+8）+4k²=0，由韦达定理即可求出x₁+x₂和x₁x₂，根据x₁+x₂=5即可求出k²的值，从而根据弦长公式即可求出|AB|的值．法2：根据抛物线方程知，p=4，根据抛物线的定义可得答案．

解答 解：法1：抛物线y²=8x的焦点F（2，0），由题意知，过F的直线存在斜率且不为0，设斜率为k，则直线方程为：y=k（x-2）；
带入抛物线方程并整理得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}=5$，x₁x₂=4；
∴k²=8；
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{9}•\sqrt{25-16}=9$．
法2：根据抛物线方程知，p=4；
∴根据抛物线的定义得|AB|=x₁+x₂+p=5+4=9．
故答案为：9．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及直线的点斜式方程，韦达定理，弦长公式，注意要说明k存在且不为0．