Question

13．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁和C₂相交于两点A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t即可得出普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，两边展开利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．抛物线方程与直线方程联立化为y²-y-1=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：$x=（\frac{y}{2}）^{2}$，化为y²=4x．
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，两边展开可得：$ρ•\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为x-y=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，化为y²-y-1=0，
∴y₁+y₂=1，y₁y₂=-1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{2[{1}^{2}-4×（-1）]}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．