Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点重合，短轴的下、上两个端点分别为B₁，B₂，且$\overrightarrow{F{B}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{2}}$=a．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km＜0）与椭圆C交于M，N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，AB∥l，且$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4，问是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求出抛物线的焦点坐标，可得椭圆的右焦点，再结合$\overrightarrow{F{B}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{2}}$=a及隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线l的方程与椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，可得根与系数的关系及其弦长|MN|，令m=0即可得出|AB|，再利用已知$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4可得m与k的关系，利用数量积$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=2即可解出k值，则直线l的方程可求．

解答 解：（1）由y²=4$\sqrt{3}$x，得抛物线焦点为（$\sqrt{3}，0$），
即椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（$\sqrt{3}，0$），∴c=$\sqrt{3}$，
由$\overrightarrow{F{B}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{2}}$=a，得（$-\sqrt{3}，-b$）•（-$\sqrt{3}$，b）=a，即3-b²=a，
又a²=b²+c²，联立可得：a=-3（舍），或a=2，
∴b²=1．
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴△=64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
则|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{16{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$，
令m=0，可得|AB|=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4•$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+1}}$=4，化简得m²=3k²，
∴$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{k}^{2}$
=$\frac{（{k}^{2}+1）（4{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}+3{k}^{2}$=$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=2，
解得k=±$\sqrt{2}$，
故直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{6}$或y=-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质，考查直线与椭圆相交关系问题，考查根与系数的关系、弦长公式、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．