Question

9．椭圆的一个焦点将长轴分成8和2两部分，求椭圆的标准方程和离心率．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得a+c=8，a-c=2，解方程可得a，c，b，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a+c=8，a-c=2，
解得a=5，c=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1或$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆a，b，c，e的求法，以及运算能力，属于基础题．