Question

4．如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6的等腰梯形．将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2，满足AC⊥BO₁．
（1）求线段OO₁的长度；
（2）求二面角O-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示建立空间直角坐标系，O（0，0，0），设O₁（0，0，t），（t＞0），C（0，1，t），由于AC⊥BO₁，可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{O}_{1}}$=0，解得t，即可得出．
（2）设平面OAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，同理可得：平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，
O（0，0，0），A（3，0，0），
设O₁（0，0，t），（t＞0），C（0，1，t），B（0，3，0）．
$\overrightarrow{AC}$=（-3，1，t），$\overrightarrow{B{O}_{1}}$=（0，3，-t），
∵AC⊥BO₁，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{O}_{1}}$=3-t²=0，解得t=$\sqrt{3}$．
∴线段OO₁=$\sqrt{3}$．
（2）设平面OAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3x=0}\\{y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，则y=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{m}$=$（0，\sqrt{3}，-1）$．
同理可得：平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=$（3，3，2\sqrt{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2×\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
∴二面角O-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{20}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、空间位置关系与空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．