Question

19．椭圆Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（0，-c），F₂（0，c），过点F₁斜率为1的直线l与椭圆Γ交于M、N两点，且2sin∠MF₂N=sin∠F₂MN+sin∠F₂NM．
（1）求椭圆离心率；
（2）设点P（0，-1）在线段MN的垂直平分线上，求椭圆Γ的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得2MN=MF₂+NF₂，MN=$\frac{4}{3}a$，直线l的方程为：y=x-c，与椭圆联立，得（a²+b²）x²-2b²cx+b²c²-a²b²=0，由弦长公式得$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{4a}{3}$，由此能求出椭圆离心率．
（2）线段MN的垂直平分线为：y=-x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，得x=$\frac{c-1}{2}$，由2x=x₁+x₂，得c=3，由此能求出椭圆Γ的方程．

解答 解：（1）∵椭圆Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（0，-c），F₂（0，c），
过点F₁斜率为1的直线l与椭圆Γ交于M、N两点，且2sin∠MF₂N=sin∠F₂MN+sin∠F₂NM．
∴2MN=MF₂+NF₂，∴MF₂+NF₂+MN=4a=3MN，∴MN=$\frac{4}{3}a$，
直线l的方程为：y=x-c，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+b²）x²-2b²cx+b²c²-a²b²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴MN=$\sqrt{2[（\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}+4×\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}]}$=$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{4a}{3}$，整理，得a²=2b²，∴b²=c²，a=$\sqrt{2}c$，
∴椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵点P（0，-1）在线段MN的垂直平分线上，
∴线段MN的垂直平分线为：y=-x-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，得x=$\frac{c-1}{2}$，y=-$\frac{c+1}{2}$，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2{c}^{3}}{3{c}^{2}}$=$\frac{2}{3}c$，
∴由2x=x₁+x₂，即c-1=$\frac{2}{3}c$，得c=3，∴b=3，a²=9+9=18，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{18}$=1．

点评 本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、正弦定理的合理运用．