Question

10．若x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x-5y+10≤0}\\{x+y-8≤0}\end{array}\right.$，则z=|x-3|+2y的最小值为$\frac{26}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．

解答 解：当x≥3得z=x-3+2y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+3}{2}$，
当x≤3得z=-（x-3）+2y得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-3}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
当x≥3时，平移y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+3}{2}$，由图象知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+3}{2}$，经过点D时，直线的截距最小，同时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-5y+10=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{13}{5}}\end{array}\right.$，即D（3，$\frac{13}{5}$），此时z=|3-3|+2×$\frac{13}{5}$=$\frac{26}{5}$

当x≤3平移y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-3}{2}$，由图象知当直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-3}{2}$经过点D时，直线的截距最小，同时z最小，
此时z=|3-3|+2×$\frac{13}{5}$=$\frac{26}{5}$，
综上=|x-3|+2y的最小值为$\frac{26}{5}$，
故答案为：$\frac{26}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．