Question

10．如图所示，多面体A₁B₁D₁DCBA是长方体A₁B₁C₁D-ABCD被平面B₁CD₁截去一个三棱锥后所得的几何体，M为B₁D₁的中点，过A₁、D、M的平面交CD₁于点N．
（1）证明：MN∥B₁C；
（2）若AB=AD=2，AA₁=4，求二面角A-MN-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的性质定理进行判断即可．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：在长方体中，B₁C∥A₁D，A₁D?面A₁DNM，
则B₁C∥面A₁DNM，
∵面B₁CD∩/面A₁DNM=MN，B₁C∥面A₁DNM，
∴MN∥B₁C
（2）由（1）得MN∥B₁C，M为B₁D₁的中点，
∴N为CD的中点，
建立以A为坐标原点，AB，AD，AA₁，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=AD=2，AA₁=4，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），A₁（0，0，4），B₁（2，0，4），D₁（0，2，4），C（2，2，0），
则M（1，1，4），N（1，2，2），
则$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AM}$=（1，1，4），$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，4），
设平面AMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=x+y+4z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=2，x=-6，即$\overrightarrow{m}$=（-6，2，1），
设平面BMN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-x+y+4z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=2，x=6，即$\overrightarrow{n}$=（6，2，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-36+4+1}{\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}+1}•\sqrt{（-6）^{2}+{2}^{2}+1}}$=-$\frac{31}{41}$，
∵二面角A-MN-B锐二面角，
∴二面角A-MN-B的余弦值为-$\frac{31}{41}$．

点评 本题综合考查空间中直线平行的判断和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．