Question

18．如图，为了测量学校操场四边形ABCD的周长和面积，在操场中间取一点O．测得OA=40m，OB=37m，OC=42m，OD=44m，且∠DOA=120°，∠AOB=80°，∠BOC=60°，∠COD=100°．
（1）试求四边形ABCD的周长；
（2）试求四边形ABCD的面积．（结果保留整数）

Answer 1

分析 （1）在四个小三角形中分别使用余弦定理求出操场的四条边，
（2）分别求出四个小三角形的面积．

解答 解：（1）在△AOB中，由余弦定理得AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=1600+1369-2×40×37×0.17=2465.80，∴AB≈49.66．
在△AOD中，由余弦定理得AD²=OA²+OD²-2OA•OD•cos∠AOD=1600+1936-2×40×44×（-$\frac{1}{2}$）=5296，∴AD≈72.77．
在△BOC中，由余弦定理得BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC=1369+1764-2×37×42×$\frac{1}{2}$=1579，∴BC≈39.74．
在△COD中，由余弦定理得CD²=OC²+OD²-2OC•OD•cos∠COD=1764+1936-2×42×44×（-0.17）=4328.3，∴CD≈65.79．
∴AB+BC+CD+AD=49.66+72.77+39.74+65.79=227.96≈228（m）．
∴四边形ABCD的周长约为228m．
（2）S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$×40×37×0.98≈725.2，S_△BOC=$\frac{1}{2}$•OC•OB•sin∠COB=$\frac{1}{2}×$42×37×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈672.9，
S_△COD=$\frac{1}{2}$•OC•OD•sin∠COD=$\frac{1}{2}$×42×44×0.98≈905.5，S_△AOD=$\frac{1}{2}$•OA•OD•sin∠AOD=$\frac{1}{2}×$40×44×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈762.1．
∴S_△AOB+S_△BOC+S_△COD+S_△AOD=725.2+672.9+905.5+762.1≈3066．
∴四边形ABCD的面积约为3066m²．

点评 本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于中档题．