Question

11．求函数y=cos²x-2acosx+1的最大值．

Answer 1

分析 令t=cosx，t∈[-1，1]，依题意，y=cos²x-2acosx+1=t²-2at+1=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]，令f（t）=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]，则对称轴为x=a，
通过对二次函数对称轴t=a中a的范围的讨论，利用二次函数的单调性与最值即可求得函数y函数y=cos²x-2acosx+1的最大值．

解答 解：令t=cosx，t∈[-1，1]，
∵y=cos²x-2acosx+1=t²-2at+1=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]．
令f（t）=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]，则对称轴为x=a，
当a≥1时，f（t）在[-1，1]上单调递减，f（t）_max=f（-1）=2-2a，
当a≤-1时，f（t）在[-1，1]上单调递增，f（t）_max=f（1）=2+2a，
当-1＜a＜1时，f（t）在[-1，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增，
∵f（-1）=2-2a，f（1）=2+2a，
∴当-1＜a＜0时，f（t）_max=f（-1）=2-2a，
当0≤a＜1时，f（t）_max=f（1）=2+2a，
终上所述：f（t）_max=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a≥1或-1＜a＜0}\\{2+2a，a≤-1，0≤a＜1}\end{array}\right.$，
故y_max=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a≥1或-1＜a＜0}\\{2+2a，a≤-1，0≤a＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的单调性与最值，着重考查转化思想与分类讨论思想，考查分析、运算能力，属于难题．