Question

8．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设$\overrightarrow{m}$=（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b．
（Ⅰ）若sin（A+θ）=$\frac{1}{3}$，求cos（$\frac{π}{3}$-θ）的值；
（Ⅱ）若b=4，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质可得：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b．可得acosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=b，再利用余弦定理化为：b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，利用余弦定理可得A．已知sin（A+θ）=$\frac{1}{3}$=$sin（\frac{π}{6}+θ）$，利用诱导公式可得：cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$sin（\frac{π}{6}+θ）$，即可得出．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得c．再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）$\overrightarrow{m}$=（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b．
∴acosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=b，
在△ABC中，利用余弦定理可得：$a•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=b，化为：b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
∵sin（A+θ）=$\frac{1}{3}$=$sin（\frac{π}{6}+θ）$，
∴cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$sin（\frac{π}{6}+θ）$=$\frac{1}{3}$，
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴2²=4²+c²-2×4c$cos\frac{π}{6}$，
化为c²-4$\sqrt{3}$+12=0，解得c=2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、余弦定理、三角形面积计算公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．