Question

13．已知圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．点P是圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于M、N点．如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy．
（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．

Answer 1

分析 （1）⊙O的方程为x²+y²=4，直线l的方程为x=6，点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$），由此能求出以MN为直径的圆的方程．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则${{y}_{0}}^{2}=4-{{x}_{0}}^{2}$，求出MN的中点坐标和以MN为直径的圆C截x轴的线段长度，由此能证明以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．

解答 解：（1）∵圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．
如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy，
∴⊙O的方程为x²+y²=4，直线l的方程为x=6，
∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∴${l}_{AP}：y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，${l}_{BP}：y=\sqrt{3}（x-2）$，
将x=6代入，得M（6，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），N（6，-4$\sqrt{3}$），
∴MN的中点坐标为（6，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），MN=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴以MN为直径的圆的方程为（x-6）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{100}{3}$．
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（x-6）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{100}{3}$，
∴所求圆的方程为（x-6）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{100}{3}$．
证明：（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，（y₀≠0）
∴${{y}_{0}}^{2}=4-{{x}_{0}}^{2}$，
∵${l}_{PA}：y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，${l}_{PB}：y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
将x=6代入，得${y}_{M}=\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，${y}_{N}=\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴M（6，$\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），N（6，$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$），MN=|$\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}+2}-\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$|=$\frac{4|{x}_{0}-6|}{|{y}_{0}|}$，
MN的中点坐标为（6，-$\frac{2（3{x}_{0}-2）}{{y}_{0}}$），
以MN为直径的圆C截x轴的线段长度为：
2$\sqrt{\frac{4（{x}_{0}-6）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}-\frac{4（3{x}_{0}-2）}{{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|}$$\sqrt{8（4-{{x}_{0}}^{2}）}$=$\frac{8\sqrt{2}}{|{y}_{0}|}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{|{y}_{0}|}|{y}_{0}|$=8$\sqrt{2}$．（为定值）
∴以MN为直径的圆必过圆O内的一定点（6-4$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查以MN为直径的圆必过圆O内的一定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．