Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可

解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\vec b$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=20，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-4}{2×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{3π}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了向量的数量积的运算以及向量的模的计算，属于中档题．