Question

12．若sinx+siny=1
（1）求cos（x-y）的取值范围；
（2）求cosx+cosy取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：0≤sinx≤1、0≤siny≤1，可得：2kπ≤x≤2（k+1）π，2kπ≤y≤2（k+1）π，可求（2k-1）π≤x-y≤2（k+1）π，利用余弦函数的性质即可得解．
（2）由同角三角函数的关系式可得（cosx+cosy）²=1+2cos（x-y）≤1+2*1=3，由-1≤cos（x-y）≤1，即可求得cosx+cosy的取值范围．

解答 解：（1）因为：sinx+siny=1，
所以：0≤sinx≤1、0≤siny≤1，
所以：2kπ≤x≤2（k+1）π，2kπ≤y≤2（k+1）π，
所以：（2k-1）π≤x-y≤2（k+1）π，
所以：-1≤cos（x-y）≤1．
（2）因为，（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²=（sin²x+cos²x）+（sin²y+cos²y）+2（cosxcosy+sinxsiny）=2+2cos（x-y），
已知，sinx+siny=1，
可得：（cosx+cosy）²=2+2cos（x-y）-（sinx+siny）²=1+2cos（x-y）≤1+2×1=3，
因为，-1≤cos（x-y）≤1，
所以，-1≤1+2cos（x-y）≤3，
则有：0≤（cosx+cosy）²≤3，
可得：-$\sqrt{3}$≤cosx+cosy≤$\sqrt{3}$，
即有：cosx+cosy的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考察了同角三角函数的关系式的应用，三角函数值域的求法，考查了余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．