Question

17．如图所示为f（x）=Asin（$\frac{π}{6}$x+φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，P，Q分别为f（x）图象的最高点和最低点，点P坐标为（2，A），PR⊥x轴于R，若∠PRQ=$\frac{2π}{3}$．则A及φ的值分别是（　　）

• A． $\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$
• B． $\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$
• D． 2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由题意直接求出函数的最大值A，通过点P的坐标为（2，A），点R的坐标为（2，0）．若∠PRQ=$\frac{2π}{3}$，画出图象，求出函数的周期，然后求出最大值，利用函数的图象经过P，求出φ的值．

解答 解：如图，∵点P的坐标为（2，A），点R的坐标为（2，0）．若∠PRQ=$\frac{2π}{3}$，
∴∠SRQ=$\frac{2π}{3}-\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$．
则SQ=A，RS=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{\frac{π}{6}}=6$，
则tan$\frac{π}{6}$=$\frac{SQ}{RS}$=$\frac{A}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得A=$2\sqrt{3}$．即P（2，$2\sqrt{3}$），
∴2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}×2+ϕ$），解得φ=2kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，考查函数的图象的应用，考查计算能力，根据条件结合图象求出A和φ的值是解决本题的关键．