Question

7．已知锐角△ABC中，角A、B、C所对边的角分别为a，b，c且$\overrightarrow{m}$=（a²+c²-b²，ac），$\overrightarrow{n}$=（tanB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{m}$$⊥\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，①求ac的最大值；②求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积运算，以及余弦定理和同角的三角函数的关系即可求出，
（2）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB以及基本不等式即可求出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（a²+c²-b²，ac），$\overrightarrow{n}$=（tanB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{m}$$⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（a²+c²-b²）tanB-3ac=0，
∴tanBcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-2ac×$\frac{1}{2}$，
∴ac+4=a²+c²≥2ac，即ac≤4，当且仅当a=c=2时取等号，
则ac的最大值为4，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=4+3ac≤16，又a+c＞b=2，
则a+c的取值范围是（2，4]．

点评 本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积以及余弦定理和基本不等式，属于中档题．