Question

18．已知数列{a_n}满足a_n+1=2ⁿ-3a_n，n∈N^*
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}_{n}}$，求数列{b_n}的通项公式（用a₁和n表示）；
（2）求使得数列{a_n}单调递增的所有a₁的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，即${b}_{n+1}=-\frac{3}{2}{b}_{n}+\frac{1}{2}$，然后构造等比数列{b_n$-\frac{1}{5}$}，则其通项公式可求；
（2）由（1）知，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}+\frac{1}{5}$，化简求得${a}_{n}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}•{2}^{n}+\frac{1}{5}•{2}^{n}$，求出a_n-a_n-1，然后对${a}_{1}=\frac{2}{5}$，${a}_{1}＜\frac{2}{5}$，${a}_{1}＞\frac{2}{5}$讨论，可得使得数列{a_n}单调递增的a₁的值为$\frac{2}{5}$．

解答 解：（1）∵a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，∴${b}_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}{b}_{n}$，即${b}_{n+1}=-\frac{3}{2}{b}_{n}+\frac{1}{2}$，
变形得，${b}_{n+1}-\frac{1}{5}=-\frac{3}{2}（{b}_{n}-\frac{1}{5}）$，
当${a}_{1}=\frac{2}{5}$时，数列{b_n}的通项公式为${b}_{n}=\frac{1}{5}$；
当${a}_{1}≠\frac{2}{5}$时，${b}_{1}-\frac{1}{5}≠0$，
∴数列{b_n$-\frac{1}{5}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}$为首项，以$-\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
则${b}_{n}-\frac{1}{5}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}$，
即${b}_{n}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}+\frac{1}{5}$；
（2）由（1）知，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}+\frac{1}{5}$，
则${a}_{n}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}•{2}^{n}+\frac{1}{5}•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}-{a}_{n-1}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•2•（-3）^{n-1}+\frac{{2}^{n}}{5}$$-（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•2•（-3）^{n-2}-\frac{{2}^{n-1}}{5}$
=$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$．
当${a}_{1}=\frac{2}{5}$时，$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$=$\frac{{2}^{n-1}}{5}$＞0；
当${a}_{1}＜\frac{2}{5}$时，$\frac{4}{5}-2{a}_{1}＞0$，此时存在充分大的奇数，使得$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$＜0；
当${a}_{1}＞\frac{2}{5}$时，$\frac{4}{5}-2{a}_{1}＜0$，此时存在充分大的偶数，使得$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$＜0．
综上，使得数列{a_n}单调递增的a₁的值为$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查数列递推式，着重考查等比关系的确定及构造函数思想，考查推理、分析与运算的综合能力，属于难题．