Question

3．设函数f（x）=2x³-bx²+cx（x∈R），若函数g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数．
（1）求b，c的值；
（2）求f（2）+f′（2）的值；
（3）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由g（x）为奇函数，可得b=-6，c=0；
（2）求出f（x）的导数，代入x=2，计算即可得到所求和；
（3）求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=2x³-bx²+cx的导数为f′（x）=6x²-2bx+c，
函数g（x）=f（x）-f′（x）=2x³-（b+6）x²+（c+2b）x-c，
由奇函数的定义，可得g（-x）=-g（x），
即有b+6=0，c=0，解得b=-6，c=0；
（2）f（x）=2x³+6x²的导数为f′（x）=6x²+12x，
即有f（2）+f′（2）=16+24+24+24=88；
（3）f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为6+12=18，
切点为（1，8），
则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-8=x-1，
即为x-y+7=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查奇函数的定义，考查运算能力，属于基础题．