Question

15．如图所示，已知△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

Answer 1

分析 根据条件可以求出向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}$的坐标，从而得出点C，D的坐标，然后根据直线的两点式方程便可分别求出直线AD，BC的方程，联立这两个方程便可解出点M的坐标．

解答 解：$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}（0，5）=（0，\frac{5}{4}）$，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}（4，3）=（2，\frac{3}{2}）$；
∴$C（0，\frac{5}{4}），D（2，\frac{3}{2}）$；
∴直线AD的方程为$\frac{x-0}{2-0}=\frac{y-5}{\frac{3}{2}-5}$，即$y=-\frac{7}{4}x+5$；
直线BC的方程为$\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-\frac{5}{4}}{3-\frac{5}{4}}$，即$y=\frac{7}{16}x+\frac{5}{4}$；
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{7}{4}x+5}\\{y=\frac{7}{16}x+\frac{5}{4}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{7}}\\{y=2}\end{array}\right.$；
∴点M的坐标为$（\frac{12}{7}，2）$．

点评 考查向量坐标的数乘运算，以及起点在原点的向量坐标和终点坐标的关系，直线的两点式方程，两直线交点坐标和两直线方程形成方程组解的关系．