Question

6．设a，b为不相等的正实数，若二次函数f（x）=x²+（6-ab）x+10满足f（2a）=f（b），则ab的最小值为18．

Answer 1

分析 利用二次函数对称性可知-$\frac{6-ab}{2}$=$\frac{2a+b}{2}$，对式子变形可得（b-2）（a-1）=8，利用换元法令x=a-1，y=b-2，xy=8，进而求出ab=（x+1）（y+2）=2x+y+10≥2$\sqrt{2xy}$+10=18．

解答 解：f（x）=x²+（6-ab）x+10满足f（2a）=f（b），
∴-$\frac{6-ab}{2}$=$\frac{2a+b}{2}$，
∴ab-6=2a+b，
∴（b-2）（a-1）=8，
令x=a-1，y=b-2，xy=8，
∴a=x+1，b=y+2，
∴ab=（x+1）（y+2）=2x+y+10≥2$\sqrt{2xy}$+10=18，
当2x=y即x=2，y=4时成立，
∴当a=3，b=6时，ab有最小值18．
故答案为：18．

点评 考查了二次函数的性质和均值定理的应用．难点是式子的变形和换元法的应用．