Question

18．已知函数f（x）是奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=$\frac{x}{1-x}$．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=-f（-1），可得结论；
（2）任取x∈（0，+∞），则x∈（-∞，0），结合条件求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）设任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂），便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增

解答 解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以f（1）=-f（-1）=$\frac{1}{2}$．…（3分）
（2）任取x∈（0，+∞），则x∈（-∞，0），所以f（-x）=$\frac{-x}{1+x}$．…（5分）     
因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
所以f（x）=-f（-x）=$\frac{x}{1+x}$．…（7分）
（3）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（8分）
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$．…（10分）
因为x₁，x₂∈（0，+∞），所以1+x₁，1+x₂＞0，
因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0．
因此$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0．
所以f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（12分）

点评 考查函数解析式及奇函数的定义，根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．