Question

16．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$P（2，\sqrt{3}）$，且它的离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）与圆（x-1）²+y²=1相切的直线l：y=kx+t（k∈R，t∈R）交椭圆E于M、N两点，若椭圆E上一点C满足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件利用椭圆性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ） 由直线与圆相切得到2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，t≠0，把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，得（3+4k²）x²+8ktx+（4t²-24）=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$P（2，\sqrt{3}）$，且它的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=6，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．…（4分）
（Ⅱ）∵直线l：y=kx+t（k∈R，t∈R）与圆（x-1）²+y²=1相切，
∴$\frac{|t+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，t≠0，…（6分）
把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+（4t²-24）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kt}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{6t}{3+4{k}^{2}}$，…（8分）
∵$λ\overrightarrow{OC}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），∴C（$\frac{-8kt}{（3+4{k}^{2}）λ}$，$\frac{6t}{（3+4{k}^{2}）λ}$），
又∵点C在椭圆上，∴$\frac{8{k}^{2}{t}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}{λ}^{2}}$+$\frac{6{t}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}{λ}^{2}}$=1，
∴${λ}^{2}=\frac{2{t}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\frac{2}{（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+（\frac{1}{{t}^{2}}）+1}$，…（10分）
∵t²＞0，∴（$\frac{1}{{t}^{2}}$）²+（$\frac{1}{{t}^{2}}$）+1＞1，
∴0＜λ²＜2，∴λ的取值范围为（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，$\sqrt{2}$）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．