Question

2．已知△ABC满足A=$\frac{π}{3}$，（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是[1，3]．

Answer 1

分析 由题意可知，△ABC为等边三角形，再结合题意画出图形，分M与A在BC同侧及M与A在BC异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理结合求得MA的取值范围，最后取并集得答案．

解答 解：由△ABC满足A=$\frac{π}{3}$，（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
可得△ABC为等边三角形，
又点M在△ABC外，且MB=2MC=2，
如图1．若M与A在BC同侧，
设∠BMC=β，∠BCM=α，
则$\frac{a}{sinβ}=\frac{2}{sinα}=\frac{1}{sin（α+β）}$，
可得1-2cosβ=a•cosα，
又cosα=$\frac{{a}^{2}-3}{2a}$，
∴|MA|²=a²+1-2acos（α-60°）=5-4cos（β-60°）∈[1，7），
则|MA|∈[1，$\sqrt{7}$）；
如图2．若M与A在BC异侧，
设∠BMC=β，∠BCM=α，
则$\frac{a}{sinβ}=\frac{2}{sinα}=\frac{1}{sin（α+β）}$，
可得1-2cosβ=a•cosα，
又cosα=$\frac{{a}^{2}-3}{2a}$，
∴|MA|²=a²+1-2a•cos（α+60°）=5+4sin（β-60°）∈（$5-2\sqrt{3}$，9]，
则|MA|∈（$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$，3]．
综上，|MA|的最小值为1，最大值为3，
故答案为：[1，3]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，灵活转化是解决该题的关键，题目设置难度较大．