Question

20．已知函数f（x）=3^x，f（a+3）=81，函数g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-a}$．
（1）若g（2^b）=4，求b的值；
（2）设G（x）=g（x）+g（-x），求G（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意得3^a+3=81，从而可得g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，代入解得．
（2）化简G（x）=g（x）+g（-x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$+$\frac{{x}^{2}}{-x-1}$=x²（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$）=2+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，从而求值域．

解答 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+3）=81，
∴3^a+3=81，
∴a=1；
∴g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，
∵g（2^b）=4，
∴2^b=2，
∴b=1；
（2）G（x）=g（x）+g（-x）
=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$+$\frac{{x}^{2}}{-x-1}$=x²（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$）
=2+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，
∵-1≤x²-1，且x²-1≠0，
故$\frac{2}{{x}^{2}-1}$≤-2或$\frac{2}{{x}^{2}-1}$＞0；
故2+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$≤0或2+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$＞2；
故G（x）的值域为（-∞，0]∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的应用及函数的值域的求法，属于基础题．