Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，sin（x+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），且函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的图象经过点P（0，$\frac{3}{2}$）
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由f（B）=$\sqrt{3}$，求得B的值，再利用余弦定理求得a的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=mcosx+sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象经过点P（0，$\frac{3}{2}$），
∴m+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴m=1，f（x）=cosx+sin（x+$\frac{π}{6}$）=cosx+sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$ 
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）△ABC中，∵f（B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴sin（B+$\frac{π}{3}$）=1，故B=$\frac{π}{6}$．
又 b=1，c=$\sqrt{3}$，利用余弦定理可得 b²=1=a²+c²-2ac•cosB=a²+3-2$\sqrt{3}$a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
求得a=1，或a=2．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，属于中档题．