Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1，数列{b_n}中，b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

-

1

bn

-

1

bn+2

=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=

an

bn

，且T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求T_n？

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把数列递推式2S_n+a_n=1变形，得Sn=

1

2

(1-an)，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可得{a_n}是公比为

1

3

的等比数列，由已知求出首项，则数列{a_n}的通项公式可求，再由

2

bn+1

-

1

bn

-

1

bn+2

=0(n∈N*)，得

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

，由此可知数列{

1

bn

}为等差数列，则数列{b_n}的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=

an

bn

，整理后利用错位相减法求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
即2a_n=-a_n+a_n-1，∴

an

an-1

=

1

3

（由题意可知a_n-1≠0），
{a_n}是公比为

1

3

的等比数列，而S1=a1=

1

2

(1-a1)，
∴a1=

1

3

，∴an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
由

2

bn+1

-

1

bn

-

1

bn+2

=0(n∈N*)，得

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

，
得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴

1

bn

=n，bn=

1

n

；
（2）c_n=

an

bn

=n•(

1

3

)n，设T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，则
Tn=1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+n•(

1

3

)n，

1

3

Tn=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+(n-1)×(

1

3

)n+n×(

1

3

)n+1．
上述两式相减，化简得：Tn=

3

4

-

3

4

×(

1

3

)n-

1

2

n(

1

3

)n=

3

4

-

2n+3

4•3n

(n∈N*)．

点评：本题考查了数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．