Question

已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，e⁴）
• D、（e⁴，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：令h(x)=

f(x)

ex

，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）=1，即可得出．

解答： 解：设h(x)=

f(x)

ex

则h′(x)=

ex(f′(x)-f(x))

(ex)2

，
∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．
所以函数h（x）是R上的减函数，
∵函数f（x+2）是偶函数，
∴函数f（-x+2）=f（x+2），
∴函数关于x=2对称，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等价为h（x）＜1，
∴不等式f（x）＜e^x等价h（x）＜1?h（x）＜h（0），

f(x)

ex

＜1=

f(0)

e0

．∵h（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．