Question

已知点P（x₁，y₁）是函数f（x）=2x上一点，点Q（x₂，y₂）是函数g（x）=2lnx上一点，若存在x₁，x₂使得|PQ|≤

2 5

5

成立，则x₁的值为（　　）

• A、

  1

  5

• B、

  2

  5

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：直线与圆

分析：由点P在直线l上，知P、Q两点间距离最近等价于函数g（x）=2lnx的图象在点Q（x₂，y₂）处的切线的斜率为2，且过P、Q点的直线与直线l垂直，计算即可．

解答： 解：根据题意可知，当|PQ|=

2 5

5

成立时，
函数g（x）=2lnx的图象在点Q（x₂，y₂）处的切线与函数f（x）=2x的图象平行，
故函数g（x）=2lnx的图象在点Q（x₂，y₂）处的切线的斜率与函数f（x）=2x的图象的斜率相等，
又因为g′(x)=

2

x

，所以

2

x2

=2，
即x₂=1，从而y₂=0，
则当|PQ|=

2 5

5

成立时，点Q坐标为Q（1，0）．
则过Q点、P点的直线与函数f（x）=2x的图象垂直．
又P点坐标可写成P（x₁，2x₁），
故有

2x1-0

x1-1

=-

1

2

解得x1=

1

5

．
故答案为：A．

点评：本题考查两点间距离，充分利用了图象上的点到直线的距离最短时为过这点的切线与该直线平行这一特性．