Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．
（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得直角坐标方程：x²+y²=4x，设Q（x，y），则M(

x

2

，

y

2

)，
代入圆的方程即可得出．
（Ⅱ）把直线l的参数方程

x=- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）代入点Q的方程可得t2+(4+2

3

)t+4=0，利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t₁+t₂|即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4x，配方为（x-2）²+y²=4，
设Q（x，y），则M(

x

2

，

y

2

)，
代入圆的方程可得(

x

2

-2)2+(

y

2

)2=4，
化为（x-4）²+y²=16．即为点Q的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程

x=- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）代入（x-4）²+y²=16．
得t2+(4+2

3

)t+4=0
令A，B对应参数分别为t₁，t₂，则t1+t2=-(4+2

3

)＜0，t₁t₂＞0．
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4+2

3

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．