Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=10，则|HF|=（　　）

• A、14
• B、16
• C、18
• D、20

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设弦MN的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=

a2

c

，直线MN的方程为y=k（x-c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|MN|，以及M的坐标，再由中垂线方程的求法，可得H的坐标，再求HF的长，计算即可得到．

解答： 解：设弦MN的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=

a2

c

，
由e=

c

a

=4，即c=4a，b=

c2-a2

=

15

a．
直线MN的方程为y=k（x-c），代入双曲线的方程，
可得（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
即为（15a²-a²k²）x²+8a³k²x-16a⁴k²-15a⁴=0，
x₁+x₂=

8a3k2

a2k2-15a2

=

8ak2

k2-15

．
则由双曲线的第二定义可得|MN|=|MF+|NF|=4（x₁-

a2

c

）+4（x₂-

a2

c

）
=4（x₁+x₂）-2a=10，
即有

32ak2

k2-15

=10+2a，即k²-15=3a（1+k²），①
则m=

4ak2

k2-15

，n=k（m-4a）=

60ak

k2-15

，
弦MN的中垂线方程为y-n=-

1

k

（x-m），
可得H（

64ak2

k2-15

，0），
则|HF|=|

64ak2

k2-15

-4a|=60a•|

1+k2

k2-15

|，
由①可得，|HF|=60a•

1+k2

3a(1+k2)

=20．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的第二定义和离心率的运用，同时注意直线的垂直平分线方程的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．