Question

已知数列{a_n}是等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，且a₁₀=19，S₁₀=100；数列{b_n}对任意n∈N^*，总有b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=a_n+2成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=（-1）ⁿ

4n•bn

(2n+1)2

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和等差数列的前n项和公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a_n，再化简b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=a_n+2，可得当n≥2时b₁•b₂•b₃…b_n-1=2n-1，将两个式子相除求出b_n；
（2）由（1）化简c_n=（-1）ⁿ

4n•bn

(2n+1)2

，再对n分奇数和偶数讨论，分别利用裂项相消法求出T_n，最后要用分段函数的形式表示出来．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，
则a₁₀=a₁+9d=19，S10=10a1+

10×9

2

×d=100，
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1，）
所以b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=2n+1…①
当n=1时，b₁=3，
当n≥2时，b₁•b₂•b₃…b_n-1=2n-1…②
①②两式相除得bn=

2n+1

2n-1

(n≥2)
因为当n=1时，b₁=3适合上式，所以bn=

2n+1

2n-1

(n∈N*)．

（Ⅱ）由已知cn=(-1)n

4n•bn

(2n+1)2

，
得cn=(-1)n

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-(1+

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)-(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)，
当n为偶数时，Tn=-(1+

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)-(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=(-1-

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)+(-

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=-1+

1

2n+1

=-

2n

2n+1

，
当n为奇数时，Tn=-(1+

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)-(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=(-1-

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)+(-

1

5

-

1

7

)+…+(-

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=-1-

1

2n+1

=-

2n+2

2n+1

．
综上：Tn=

- 2n 2n+1 ，n为偶数 - 2n+2 2n+1 ，n为奇数

．

点评：本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及分类讨论思想，考查化简、计算能力，属于中档题．