Question

已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M（x，y），若实数x，y满足不等式 f（x²-8y+24）+f（y²-6x）≥0恒成立，则

OA

•

OM

的取值范围是（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、[-1，1]
• C、[2，4]
• D、[3，5]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：根据函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x²-8y+24）+f（y²-6x）≥0，即有x²+y²-6x-8y+24≤0，即有（x-3）²+（y-4）²≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围．

解答： 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点 （0，0）对称，即函数是奇函数，
∴不等式 f（x²-8y+24）+f（y²-6x）≥0等价于不等式f（x²-8y+24）≥f（6x-y²），
∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴x²-8y+24≤6x-y²，即为x²+y²-6x-8y+24≤0，
即有（x-3）²+（y-4）²≤1，①
则

OA

•

OM

=1•x+0•y=x，
由①可得，|x-3|≤1，解得2≤x≤4．
故选：C．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．