Question

已知数列{a_n}前n项和S_n满足：2S_n+a_n=1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2an+1

(1+an)(1+an+1)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用递推式可得：an=

1

3

an-1．再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）由（I）可得b_n=

2( 1 3 )n+1

(1+ 1 3n )(1+ 1 3n+1 )

=

1

3n+1

-

1

3n+1+1

，；利用“裂项求和”即可得出数列{b_n}的前n项和为T_n，进而得到证明．

解答： （I）解：∵2S_n+a_n=1，
∴当n≥2时，2S_n-1+a_n-1=1，
∴2a_n+a_n-a_n-1=0，化为an=

1

3

an-1．
当n=1时，2a₁+a₁=1，∴a₁=

1

3

．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为

1

3

．
∴an=(

1

3

)n．
（II）证明：b_n=

2an+1

(1+an)(1+an+1)

=

2( 1 3 )n+1

(1+ 1 3n )(1+ 1 3n+1 )

=

2•3n

(1+3n)(1+3n+1)

=

1

3n+1

-

1

3n+1+1

，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=(

1

3+1

-

1

32+1

)+(

1

32+1

-

1

33+1

)+…+(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)
=

1

4

-

1

3n+1+1

＜

1

4

．
∴T_n＜

1

4

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．