Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，直线l：

x=-3+ 3 t y=2 3 +t

（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）设 A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,直线与圆锥曲线的关系,参数方程化成普通方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）直接利用三角代换写出椭圆C的参数方程，消去此时t可得直线l的普通方程；
（Ⅱ）利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，通过椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，列出方程，即可求点P的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为为参数），l：x-

3

y+9=0．…（4分）
（Ⅱ）设P（2cosθ，

3

sinθ），则|AP|=

(2cosθ-1)2+( 3 sinθ)2

=2-cosθ，
P到直线l的距离d=

|2cosθ-3sinθ+9|

2

=

2cosθ-3sinθ+9

2

．
由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5，又sin²θ+cos²θ=1，得sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

．
故P（-

8

5

，

3 3

5

）．…（10分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，参数方程的应用，点到直线的距离以及两点间距离公式的应用，考查计算能力．