Question

某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表．已知男生体重在[50，62）的人数为45．

女生体重数据频数分布表
体重（公斤）	[36，40）	[40，44）	[44，48）	[48，52）	[52，56）	[56，60）
频数	2	18	10	5	3	x

（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在[56，60）的女生人数x的值；
（Ⅱ）若从体重在[66，70）的男生和体重在[56，60）的女生中选取2人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；
（Ⅲ）若体重在[50，54），[54，58），[58，62）的男生人数比为3：5：7，试估算高一年段男生的平均体重．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用男生体重数据频率分布直方图，直接求解体重落在区间[50，62）的频率，得到男生体重在[50，62）的人数，按性别分层抽样，根据饼图描述的男，女生人数比，求出体重落在区间[56，60]的女生人数．（Ⅱ）体重落在区间[66，70]的男生人数．记体重落在[66，70]的3名男生为A，B，C，体重落在[56，60]的2名女生为a，b．列出所有基本事件个数．记“男、女生各有一人被选中”的事件为R的数目，利用古典概率模型求解即可．
（Ⅲ）利用体重在[50，54），[54，58），[58，62）的男生人数比为3：5：7，推出男生第2，3，4组体重数据的频率分别为0.15，0.25，0.35，男生第1，5，6组体重数据的频率．即可估计高一年段男生平均体重．

解答： 解：（Ⅰ）由男生体重数据频率分布直方图可知，体重落在区间[50，62）的频率为1-（0.025+0.025+0.0125）×4=0.75．                        
因为男生体重在[50，62）的人数为45，
所以本次抽样中男生抽取的总人数为45÷0.75=60．
因为样本是按性别分层抽样获取的，
所以根据饼形图描述的男，女生人数比，可知女生抽取的总人数为40．
所以体重落在区间[56，60]的女生人数为x=40-（2+18+10+5+3）=2． 
（Ⅱ）体重落在区间[66，70]的男生人数为60×0.0125×4=3．
记体重落在[66，70]的3名男生为A，B，C，体重落在[56，60]的2名女生为a，b．
则事件“从体重在[66，70）的男生和体重在[56，60）的女生中选取2人进行复查”包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（B，C），（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），总数为10．
记“男、女生各有一人被选中”的事件为R，则事件R包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），共6个．
因为事件空间中基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以该概率模型属于古典概率模型，
所以男、女生各有一人被选中的概率P(A)=

6

10

=

3

5

． 
（Ⅲ）因为体重在[50，54），[54，58），[58，62）的男生人数比为3：5：7，
又由（Ⅰ）可知体重落在区间[50，62）的频率为0.75，
所以男生第2，3，4组体重数据的频率分别为0.15，0.25，0.35．
因为由直方图可知，男生第1，5，6组体重数据的频率分别为0.1，0.1，0.05，
所以样本中60名男生的平均体重约为：48×0.1+52×0.15+56×0.25+60×0.35+64×0.1+68×0.05=57.4．
以样本估计总体，可以估计高一年段男生平均体重为57.4公斤．

点评：本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统计与概率的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等．