Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥CC₁；
（Ⅱ）若AB₁=

6

，求二面角C-AB₁-A₁．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明：连AC₁，CB₁，证明CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，得到CC₁⊥平面OAB₁，即可证明CC₁⊥AB₁．
（Ⅱ）以OB₁，OC₁，OA为正方向建立空间直角坐标系，求出C，B₁，A，求出平面CAB₁的法向量

m

，平面A₁AB₁的法向量

n

，通过向量的数量积求解二面角C-AB₁-A₁的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连AC₁，CB₁，则
△ACC₁和△B₁CC₁皆为正三角形．
取CC₁中点O，连OA，OB₁，则
CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，则
CC₁⊥平面OAB₁，则CC₁⊥AB₁．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB₁=

3

，又AB₁=

6

，
所以OA⊥OB₁．如图所示，分别以OB₁，OC₁，OA为正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，-1，0），B₁（

3

，0，0），A（0，0，

3

），…（6分）
设平面CAB₁的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），因为

AB1

=（

3

，0，-

3

），

AC

=（0，-1，-

3

），
所以

3 x1+0×y1- 3 z1=0 0×x1-1×y1- 3 z1=0

取

m

=（1，-

3

，1）．…（8分）
设平面A₁AB₁的法向量为

n

=（x₂，y₂，z₂），因为

AB1

=（

3

，0，-

3

），

AA1

=（0，2，0），
所以

3 x2+0×y2- 3 z2=0 0×x2-1×y2-0×z2=0

取

n

=（1，0，1）．…（10分）
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

5 × 2

=

10

5

，因为二面角C-AB₁-A₁为钝角，
所以二面角C-AB₁-A₁的余弦值为-

10

5

．…（12分）

点评：本题考查空间直线和平面的位置关系，熟记线线、线面和面面的位置关系，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．