Question

在如图1所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，ED∥FC，ED=

1

2

FC，M是AF的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面AEF⊥平面FAC；
（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥A-CDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接OM，证明EM∥DO，利用直线与平面平行的判定定理证明EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）证明CF⊥底面ABCD，DO⊥平面FAC．然后证明EM⊥平面FAC．利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面FAC．
（Ⅱ）说明AD⊥平面EDCF．得到棱锥的高，然后代入体积公式求解即可．

解答： 满分（12分）．
解：（Ⅰ）连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O为BD的中点．
连接OM，则MO∥FC，且MO=

1

2

FC．…1′分
又∵ED∥FC，且ED=

1

2

FC，∴MO∥ED，且MO=ED，
∴EDOM是平行四边形，EM∥DO．…（2分）
∵EM?平面ABCD，DO?平面ABCD，
∴EM∥平面ABCD．  …（4分）
（Ⅱ）∵ED∥FC，ED⊥底面ABCD，
∴CF⊥底面ABCD，…（5分）
又∵DO?平面ABCD，∴CF⊥DO．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥DO．
∵CF，AC?平面FAC，CF∩AC=C，
∴DO⊥平面FAC．…（7分）
由（Ⅰ）知EM∥DO，
∴EM⊥平面FAC．  …（8分）
又∵EM?平面AEF，∴平面AEF⊥平面FAC． …（9分）
（Ⅱ）由侧视图可知，ED=2，DC=CF=4．…（10分）
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=4．
∵ED⊥平面ABCD，AD?面ABCD，∴ED⊥AD，
又∵AD⊥DC，ED∩DC=D，∴AD⊥平面EDCF． …（11分）
则VA-EDCF=

1

3

•AD•SEDCF=

1

3

×4×

(2+4)×4

2

=16．…（12分）

点评：本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等．