Question

【题目】设函数f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，若函数 f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 且极小值点x1大于极大值点x2 ， 则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函数f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，求导f′（x）=ex（2x﹣1）﹣2ax+2a， 由题意可知函数 f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 则y=ex（2x﹣1）与y=2a（x﹣1）有两个交点，
则设切点（x0 ， （2x0﹣1）），y=2a（x﹣1）恒过点（1，0）
求导y′=ex（2x+1），令y′＞0时，解得x＞﹣ ，当y′＜0，解得x＜﹣ ，
∴y=ex（2x﹣1）在（﹣∞，﹣ ）单调递减，在（﹣ ，+∞）单调递增；
则y=ex（2x﹣1）在（x0 ， （2x0﹣1））处的切线斜率k= （2x0+1），
则 （2x0+1）= ，整理得：2x02﹣3x0=1，解得：x0=0，或x0= ，
∴当x0=0时，则k=1，即2a=1，a= ，
x0= ，则k=4 ，2a=4 ，a=2 ，
要使y=ex（2x﹣1）与y=2a（x﹣1）有两个交点，
则0＜a＜ 或a＞2 ，
当0＜a＜ ，f′（x）=0，则y=ex（2x﹣1）与y=2a（x﹣1）有两个交点x1 ， x2 ，
令由函数图象可知（﹣∞，x2）单调递增，在（x2 ， x1）单调递减，在（x1 ， +∞）单调递增，
则当x=x2时，取极大值，当x=x1取极小值，且x2＜x1 ，
满足极小值点x1大于极大值点x2 ，
同理可知：极小值点x1大于极大值点x2 ，
∴实数a的取值范围（0， ）∪（2 ，+∞），
故选A．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．