Question

2．已知关于x的方程x²+（m-3）x+m=0．
（1）若方程的一根大于2，一根小于2，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两根都小于-2，求实数m的取值范围；
（3）若方程的一根在区间（-2，0）内，一根在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；
（4）若方程的两根都在区间（0，2），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质，求得各种条件下实数m的取值范围．

解答 解：令f（x）=x²+（m-3）x+m，
（1）若方程x²+（m-3）x+m=0的一根大于2，一根小于2，
令f（x）=x²+（m-3）x+m，则有 f（2）=3m-2＜0，求得m＜$\frac{2}{3}$．
（2）若方程x²+（m-3）x+m=0的两根都小于-2，
则有$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{-\frac{m-3}{2}＜-2}\\{f（-2）＞0}\end{array}\right.$，求得 9≤m＜10．
（3）若方程x²+（m-3）x+m=0的一根在区间（-2，0）内，一根在区间（0，4）内，
则有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=10-m＞0}\\{f（0）=m＜0}\\{f（4）=5m+4＞0}\end{array}\right.$，由此求得实数m的取值范围为-$\frac{4}{5}$＜m＜0．
（4）若方程x²+（m-3）x+m=0的两根都在区间（0，2），则有 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{0＜\frac{3-m}{2}＜2}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
求得$\frac{2}{3}$＜m≤1．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．