Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）比较的大小（n∈N^*）；
（3）证明：．

Answer 1

解：（1）∵S_n=1-a_n，当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得 ．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1即
∴数列{a_n}是首项为，公比为 的等比数列，∴
（2）令，构造函数，则，所以f（x）的最大值是，∴，∴
（3）由（2）可知且“=”成立的条件是x=a_i，
所以：，
令，则，
所以：
∴
分析：（1）由S_n=1-a_n，解得 ．a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）令，构造函数，求导可知f（x）的最大值是，从而可以比较大小；
（3）由条件可知且“=”成立的条件是x=a_i，从而可证．
点评：本题考查等比数列的通项公式的求法和不等式的证明，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，属于难题